第三十七章 我在脑海中解答出来的 (第1/2页)
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很快,数学老师甄老师便被请过来。
甄老师不仅仅是数学老师,而且是整个中南一中的数学科主任,本来能够成为中南一中这样的省重点高中的老师已经很不简单,更是数学科主任,足以说明他的能耐,放眼在整个中南市教育界都颇具名气。
了解到情况,甄老师同意下来,因为他也很想知道,秦无道是不是凭着自己的实力考出将近满分的数学试卷。
要知道第二次模拟考的数学试卷,不是一般的困难。
甄老师在黑板上快速写下一道难题:“已知a,是实数,函数f(x)=x^3+ax,g(x)=x^2+x,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数,若f'(x)g'(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致,现设a<0,且a≠,若函数f(x)和g(x)在以a,为端点的开区间上单调性一致,求|a-|的最大值。”
一看到题目,所有同学都下意识地进行在白纸上进行解答。
张越同样是这样。
李紫薇、慕倾颜这样的尖子生亦如此。
只有秦无道淡淡地看着题目,一动不动。
过去了大概十来分钟后,秦无道还在桌位上一动不动。
李紫薇、慕倾颜以及几个相对数学厉害一些的尖子生停下来,显然以及解答出来了。
张越这时候也举起手来开口:“老师我解出答案了。”
他并且将解题步骤以及答案都递交上去。
数学老师看了片刻,微微点头,显然张越解答出来。
旋即看向秦无道,道:“秦同学你呢?”
秦无道开口:“我也解出答案了。”
众人一愣,你压根就没有解答,怎么知道答案。
数学老师也是微微一皱眉,开口:“答案是多少?”
“1/3!”
所有人都是一愣,数学老师更显露出几分惊讶:“你怎么解答出来的。”
显然,秦无道的答案是正确的。
只是,秦无道从一开始就没有在纸上进行解答,不可能知道答案,难道他是看过答案?
不少同学都疑惑,认为这个观点最有可能。
张越站起来,道:“秦无道,你又看过答案。”
秦无道冷笑:“题目是数学老师随机出的,我事先不知道,你难道是怀疑甄老师跟我一起串通吗?”
张越神色一变,急忙道:“我不敢怀疑甄老师,可你怎么知道答案,你还没有进行解析。”
秦无道淡淡道:“因为我在脑海中解析出来了。”
“不可能!”
所有人都不相信,在脑海中解析,那还是人吗?
秦无道站起来,直接走到黑板上,拿起粉笔就是写起来,并且一边开口解释:“这一题先是求导,解得f'(x)=3x^2+a g'(x)=2x+
接着由条件可知在区间上,有(3x^2+a)(2x+)≥0。”
“接着再画图f'(x)=3x^2+a,是一个顶点为(0,a)的,开口向上的抛物线。”
“同样画g'(x)=2x+,是一条直线。”
“因为题目没有给a和哪个大,题目就稍微复杂了一些。”
“可以分两种情况,先假设大于a,所以区间就是(a,),根据图像,我们可以知道直线与x轴的交点是(-/2,0),若大于0的话,所以就有大于-/2,那在区间(-/2,0)上,g'(x)大于0,而f'(x)小于0,所以不能大于0。”
“当不大于0时,交点(-/2,0)在y轴右边,或者y轴上(=0),那么就有g'(x)在区间(a,)上恒小于等于0,那么则表明f'(x)在(a,)上也是恒小于等于0,通过图像可以现,当x小于-√-a/3时,f'(x)大于0,所以就有a要大于等于-√-a/3,解得a大于等于-1/3.所以有a的范围是【-1/3,0),的范围是(a,0】,所以就有|a-|的最大值为1/3。”
“当小于a时,那就直接有小于0了,做图和上面一样,解得a大于等于-1/3,大于等于-√-a/3,结果就解不下去了。”
张越忍不住追问了一句:“为什么当x小于-√-a/3时,f'(x)大于0,所以就有a要大于等于-√-a/3?”
秦无道解释:“先说第二个,由于 g'(x)=2x+与x轴的交点是(-/2,0),由图像可知,当x大于-/2时,g'(x)大于0,接着设大于0,那就有-/2小于0且小于,那表示在(-/2,0)的区间上,g'(x)大于0,而由图像可知,在(-√-a/3,0)的区间上,f'(x)小于0,那表明不论a和是什么关系,在小于0上必然有一个区间,有g'(x)大于0,而f'(x)小于0,所以必定不能大于0.就有小于等于0,至于为什么大于a,那是我设的,刚开始我直接就设大于a。所以才有区间为(a,)。”
“第一个,由于上面已经证明小于等于0,那表明,-/2大于等于,结合图像就可以看出,在(a,)这个区间上,g'(x)恒小于等于0,那么就必须有在(a,),f'(x)也恒小于等于0,所以a就必须大于等于-√-a/3,因为只要a小于-√-a/3,那表明在区间(a,)上,可以取到x值,使f'(x)大于0。”
“因为题目里没有给出a和的大小,所以当小于a时,不能求得具体的数值,不过却可以通过讨论,证明出最大值小于1/3。结果两种情况一结合,得出最大值为1/3。”
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